Почему нельзя делить на ноль? Кто запретил? Школа упрямо запрещает нам делить на ноль, но стоит переступить порог университета - индульгенция получена. То, что в школе считалось запретом, теперь возможно. Можно поделить на ноль и получить бесконечность. Высшая математика… Ну почти.
История и философия ноля
На самом деле история с делением на ноль не давала покоя его изобретателям (а ). Но индийцы - философы привыкшие к абстрактным задачам. Что значит разделить на ничто? Для европейцев того времени такого вопроса вообще не существовало, так как ни о нуле ни об отрицательных числах (которые левее нуля на шкале) они знать не знали.
В Индии отнять от меньшего большее и получить отрицательное число не составляло проблем. Ведь что значит 3-5=-2 в обычной жизни? Это значит, что кто-то остался должен кому-то 2. Отрицательные числа назывались долгами .
Теперь давайте так же просто разберемся с вопросом деления на нуль. В далеком 598 году нашей эры (только вдумайтесь как давно, более 1400 лет назад!) в Индии родился математик Брахмагупта, который тоже задавался вопросом деления на ноль.
Он предположил, что если взять лимон и начать делить его на части, рано или поздно мы придем к тому, что дольки будут очень маленькими. В воображении мы можем дойти до того, что дольки станут равны нулю. Итак, вопрос, если разделить лимон не на 2, 4 или 10 частей, а на стремящееся к бесконечности количество частей - какого размера получаться дольки? Получится бесконечное число «нулевых долек». Все довольно просто, нарежем лимон очень мелко, получим лужицу с бесконечным количеством частей - лимонный сок.
Достаточно задать самому себе вопрос:
Если деление на бесконечность дает ноль, то деление на ноль должно давать бесконечность.
х/ ∞=0 значит и х/0=∞
Но если взяться за математику, то получается как-то нелогично:
а*0=0? А если b*0=0? Значит: а*0=b*0
А отсюда: а=b
То есть любое число равно любому числу. Первая неправильность деления на ноль, идем дальше. В математике, деление считается обратным действием умножения. Это значит, что если мы делим 4 на 2, мы должны найти число, которое при умножении на 2 даст 4 .
Делим 4 на ноль - нужно найти число, которое при умножении на ноль даст 4. То есть х*0=4? Но х*0=0! Опять незадача. Получается мы спрашиваем: «Сколько нолей нужно взять, чтобы получилось 4?»
Бесконечность? Бесконечное количество нолей все равно даст в сумме ноль.
А деление 0 на 0 вообще дает неопределенность, ведь 0*х=0, где х вообще все что угодно. То есть - бесчисленное множество решений.
Нелогичность и абстрактность операций с нулем не позволяется в узких рамках алгебры, точнее это неопределенная операция. Для нее нужен аппарат посерьезнее - высшая математика. Так что в некотором роде делить на ноль нельзя, но если очень захочется, то делить на ноль можно, но нужно быть готовым понимать такие вещи как дельта-функция Дирака и прочие трудно осознаваемые вещи. Делите на здоровье.
Простое объяснение из жизни
Вот вам задачка из реальной жизни. Допустим, мы хотим вычислит за сколько времени сможем пройти 10 километров. Значит Скорость * время = расстояние (S=Vt). Чтобы узнать время, расстояние делим на скорость (t=S/V). А что будет, если скорость у нас 0? t=10/0. Будет бесконечность!
Стоим на месте, скорость равна нулю, и с такой скоростью мы будем вечно добираться до отметки в 10 км. Значит время будет… t=∞. Вот и получилась у нас бесконечность!
И в этом примере делить на ноль можно, жизненный опыт позволяет. Жаль, что учителя в школе не могут объяснять такие вещи так же просто.
Ещё в школе учителя нам всем старались вбить в голову простейшее правило: «Любое число, умноженное на ноль, равняется нулю!» , — но всё равно вокруг него постоянно возникает куча споров. Кто-то просто запомнил правило и не забивает себе голову вопросом «почему?». «Нельзя и всё тут, потому что в школе так сказали, правило есть правило!» Кто-то может исписать полтетради формулами, доказывая это правило или, наоборот, его нелогичность.
Кто в итоге прав
Во время этих споров оба человека, имеющие противоположные точки зрения, смотрят друг на друга, как на барана, и доказывают всеми силами свою правоту. Хотя, если посмотреть на них со стороны, то можно увидеть не одного, а двух баранов, упирающихся друг в друга рогами. Различие между ними лишь в том, что один чуть менее образован, чем второй.
Чаще всего, те, кто считают это правило неверным, стараются призвать к логике вот таким способом:
У меня на столе лежит два яблока, если я положу к ним ноль яблок, то есть не положу ни одного, то от этого мои два яблока не исчезнут! Правило нелогично!
Действительно, яблоки никуда не исчезнут, но не из-за того, что правило нелогично, а потому что здесь использовано немного другое уравнение: 2+0 = 2. Так что такое умозаключение отбросим сразу - оно нелогично, хоть и имеет обратную цель - призвать к логике.
Что такое умножение
Изначально правило умножения было определено только для натуральных чисел: умножение - это число, прибавленное к самому себе определённое количество раз, что подразумевает натуральность числа. Таким образом, любое число с умножением можно свести вот к такому уравнению:
- 25×3 = 75
- 25 + 25 + 25 = 75
- 25×3 = 25 + 25 + 25
Из этого уравнения следует вывод, что умножение - это упрощённое сложение .
Что такое ноль
Любой человек с самого детства знает: ноль - это пустота, Несмотря на то, что эта пустота имеет обозначение, она не несёт за собой вообще ничего. Древние восточные учёные считали иначе - они подходили к вопросу философски и проводили некие параллели между пустотой и бесконечностью и видели глубокий смысл в этом числе. Ведь ноль, имеющий значение пустоты, встав рядом с любым натуральным числом, умножает его в десять раз. Отсюда и все споры по поводу умножения - это число несёт в себе столько противоречивости, что становится сложно не запутаться. Кроме того, ноль постоянно используется для определения пустых разрядов в десятичных дробях, это делается и до, и после запятой.
Можно ли умножать на пустоту
Умножать на ноль можно, но бесполезно, потому что, как ни крути, но даже при умножении отрицательных чисел всё равно будет получаться ноль. Достаточно просто запомнить это простейшее правило и никогда больше не задаваться этим вопросом. На самом деле всё проще, чем кажется на первый взгляд. Нет никаких скрытых смыслов и тайн, как считали древние учёные. Ниже будет приведено самое логичное объяснение, что это умножение бесполезно, ведь при умножении числа на него всё равно будет получаться одно и то же - ноль.
Возвращаясь в самое начало, к доводу по поводу двух яблок, 2 умножить на 0 выглядит вот так:
- Если съесть по два яблока пять раз, то съедено 2×5 = 2+2+2+2+2 = 10 яблок
- Если их съесть по два трижды, то съедено 2×3 = 2+2+2 = 6 яблок
- Если съесть по два яблока ноль раз, то не будет съедено ничего - 2×0 = 0×2 = 0+0 = 0
Ведь съесть яблоко 0 раз - это означает не съесть ни одного. Это будет понятно даже самому маленькому ребёнку. Как ни крути - выйдет 0, двойку или тройку можно заменить абсолютно любым числом и выйдет абсолютно то же самое. А если проще говоря, то ноль - это ничего , а когда у вас ничего нет , то сколько ни умножай - всё равно будет ноль . Волшебства не бывает, и из ничего не получится яблоко, даже при умножении 0 на миллион. Это самое простое, понятное и логичное объяснение правила умножения на ноль. Человеку, далёкому от всех формул и математики будет достаточно такого объяснения, для того чтобы диссонанс в голове рассосался, и всё встало на свои места.
Деление
Из всего вышеперечисленного вытекает и другое важное правило:
На ноль делить нельзя!
Это правило нам тоже с самого детства упорно вбивают в голову. Мы просто знаем, что нельзя и всё, не забивая себе голову лишней информацией. Если вам неожиданно зададут вопрос, по какой причине запрещено делить на ноль, то большинство растеряется и не сможет внятно ответить на простейший вопрос из школьной программы, потому что вокруг этого правила не ходит столько споров и противоречий.
Все просто зазубрили правило и не делят на ноль, не подозревая, что ответ кроется на поверхности. Сложение, умножение, деление и вычитание - неравноправны, полноценны из перечисленного только умножение и сложение, а все остальные манипуляции с числами строятся из них. То есть запись 10: 2 является сокращением уравнения 2 * х = 10. Значит, запись 10: 0 такое же сокращение от 0 * х = 10. Получается, что деление на ноль — это задание найти число, умножая которое на 0, получится 10. А мы уже разобрались, что такого числа не существует, значит, у этого уравнения нет решения, и оно будет априори неверным.
Расскажу тебе позволь,
Чтобы не делил на 0!
Режь 1 как хочешь, вдоль,
Только не дели на 0!
«Делить на ноль нельзя!» - большинство школьников заучивает это правило наизусть, не задаваясь вопросами. Все дети знают, что такое «нельзя» и что будет, если в ответ на него спросить: «Почему?» А ведь на самом деле очень интересно и важно знать, почему же нельзя.
Всё дело в том, что четыре действия арифметики - сложение, вычитание, умножение и деление - на самом деле неравноправны. Математики признают полноценными только два из них - сложение и умножение. Эти операции и их свойства включаются в само определение понятия числа. Все остальные действия строятся тем или иным образом из этих двух.
Рассмотрим, например, вычитание. Что значит 5 – 3 ? Школьник ответит на это просто: надо взять пять предметов, отнять (убрать) три из них и посмотреть, сколько останется. Но вот математики смотрят на эту задачу совсем по-другому. Нет никакого вычитания, есть только сложение. Поэтому запись 5 – 3 означает такое число, которое при сложении с числом 3 даст число 5 . То есть 5 – 3 - это просто сокращенная запись уравнения: x + 3 = 5 . В этом уравнении нет никакого вычитания. Есть только задача - найти подходящее число.
Точно так же обстоит дело с умножением и делением. Запись 8: 4 можно понимать как результат разделения восьми предметов по четырем равным кучкам. Но в действительности это просто сокращенная форма записи уравнения 4 · x = 8 .
Вот тут-то и становится ясно, почему нельзя (а точнее невозможно) делить на ноль. Запись 5: 0 - это сокращение от 0 · x = 5 . То есть это задание найти такое число, которое при умножении на 0 даст 5 . Но мы знаем, что при умножении на 0 всегда получается 0 . Это неотъемлемое свойство нуля, строго говоря, часть его определения.
Такого числа, которое при умножении на 0 даст что-то кроме нуля, просто не существует. То есть наша задача не имеет решения. (Да, такое бывает, не у всякой задачи есть решение.) А значит, записи 5: 0 не соответствует никакого конкретного числа, и она просто ничего не обозначает и потому не имеет смысла. Бессмысленность этой записи кратко выражают, говоря, что на ноль делить нельзя.
Самые внимательные читатели в этом месте непременно спросят: а можно ли ноль делить на ноль? В самом деле, ведь уравнение 0 · x = 0 благополучно решается. Например, можно взять x = 0 , и тогда получаем 0 · 0 = 0 . Выходит, 0: 0=0 ? Но не будем спешить. Попробуем взять x = 1 . Получим 0 · 1 = 0 . Правильно? Значит, 0: 0 = 1 ? Но ведь так можно взять любое число и получить 0: 0 = 5 , 0: 0 = 317 и т. д.
Но если подходит любое число, то у нас нет никаких оснований остановить свой выбор на каком-то одном из них. То есть мы не можем сказать, какому числу соответствует запись 0: 0 . А раз так, то мы вынуждены признать, что эта запись тоже не имеет смысла. Выходит, что на ноль нельзя делить даже ноль. (В математическом анализе бывают случаи, когда благодаря дополнительным условиям задачи можно отдать предпочтение одному из возможных вариантов решения уравнения 0 · x = 0 ; в таких случаях математики говорят о «раскрытии неопределенности», но в арифметике таких случаев не встречается.)
Вот такая особенность есть у операции деления. А точнее - у операции умножения и связанного с ней числа ноль.
Ну, а самые дотошные, дочитав до этого места, могут спросить: почему так получается, что делить на ноль нельзя, а вычитать ноль можно? В некотором смысле, именно с этого вопроса и начинается настоящая математика. Ответить на него можно только познакомившись с формальными математическими определениями числовых множеств и операций над ними. Это не так уж сложно, но почему-то не изучается в школе. Зато на лекциях по математике в университете вас в первую очередь будут учить именно этому.
В математике деление на ноль – невозможно! Одним из способов для объяснения данного правила является анализ процесса, который показывает, что происходит, когда одно число разделено на другое.
Ошибка деления на ноль в Excel
В реальности операция деление это по сути тоже что и вычитание. Например, деление числа 10 на 2 является многократным вычитанием 2 от 10-ти. Многократность повторяется до той поры пока результат не будет равен 0. Таким образом необходимо число 2 вычитать от десяти ровно 5 раз:
- 10-2=8
- 8-2=6
- 6-2=4
- 4-2=2
- 2-2=0
Если же попробовать разделить число 10 на 0, никогда мы не получим результат равен 0, так как при вычитании 10-0 всегда будет 10. Бесконечное количество раз вычитаний ноля от десяти не приведет нас к результату =0. Всегда будет один и ото же результат после операции вычитания =10:
- 10-0=10
- 10-0=10
- 10-0=10
- ∞ бесконечность.
В кулуарах математиков говорят, что результат деления любого числа на ноль является «не ограниченным». Любая компьютерная программа, при попытке деления на 0, просто возвращает ошибку. В Excel данная ошибка отображается значением в ячейке #ДЕЛ/0!.
Но при необходимости можно обойти возникновения ошибки деления на 0 в Excel. Просто следует пропустить операцию деления если в знаменателе находится число 0. Решение реализовывается с помощью помещения операндов в аргументы функции =ЕСЛИ():
Таким образом формула Excel позволяет нам «делить» число на 0 без ошибок. При делении любого числа на 0 формула будет возвращать значение 0. То есть получим такой результат после деления: 10/0=0.
Как работает формула для устранения ошибки деления на ноль
Для работы корректной функция ЕСЛИ требует заполнить 3 ее аргумента:
- Логическое условие.
- Действия или значения, которые будут выполнены если в результате логическое условие возвращает значение ИСТИНА.
- Действия или значения, которые будут выполнены, когда логическое условие возвращает значение ЛОЖЬ.
В данном случаи аргумент с условием содержит проверку значений. Являются ли равным 0 значения ячеек в столбце «Продажи». Первый аргумент функции ЕСЛИ всегда должен иметь операторы сравнения между двумя значениями, чтобы получить результат условия в качестве значений ИСТИНА или ЛОЖЬ. В большинстве случаев используется в качестве оператора сравнения знак равенства, но могут быть использованы и другие например, больше> или меньше >. Или их комбинации – больше или равно >=, не равно!=.
Если условие в первом аргументе возвращает значение ИСТИНА, тогда формула заполнит ячейку значением со второго аргумента функции ЕСЛИ. В данном примере второй аргумент содержит число 0 в качестве значения. Значит ячейка в столбце «Выполнение» просто будет заполнена числом 0 если в ячейке напротив из столбца «Продажи» будет 0 продаж.
Если условие в первом аргументе возвращает значение ЛОЖЬ, тогда используется значение из третьего аргумента функции ЕСЛИ. В данном случаи - это значение формируется после действия деления показателя из столбца «Продажи» на показатель из столбца «План».
Формула для деления на ноль или ноль на число
Усложним нашу формулу функцией =ИЛИ(). Добавим еще одного торгового агента с нулевым показателем в продажах. Теперь формулу следует изменить на:
Скопируйте эту формулу во все ячейки столбца «Выполнение»:
Теперь независимо где будет ноль в знаменателе или в числителе формула будет работать так как нужно пользователю.
Моя трёхлетняя дочка София в последнее время частенько упоминает «ноль», например, в таком контексте:
- Соня, вот ты вроде сначала не послушалась, а затем послушалась, что же получается?..
- Ну… ноль!
Т.е. ощущение отрицательных чисел и нейтральности нуля уже имеет, о как. Скоро поинтересуется: почему же это на ноль делить нельзя?
И вот решил я простыми словами записать всё, что я ещё помню про деление на ноль и всё такое.
Деление вообще лучше один раз увидеть, чем сто раз услышать.
Ну, или один разделить на икс раз увидеть…
Тут сразу видно, что ноль - это центр жизни, вселенной и всего такого. Ответом на главный вопрос про всё это пусть себе будет 42, а вот центр - по-любому 0. У него даже знака нет, ни плюс (послушалась), ни минус (не послушалась), он таки реально ноль. И в поросятах знает толк.
Потому что если любого поросёнка умножить на ноль, то поросёнка засасывает в эту круглую чёрную дыру, и получается опять ноль. Не такой уж этот ноль и нейтральный, когда дело от сложения-вычитания доходит до умножения, не говоря уже про деление… Там если ноль сверху «0/x» - то опять чёрная дыра. Всё поедает в ноль. А вот если при делении, да ещё и снизу - «x/0», то начинается… следуй за белым кроликом, Соня!
В школе тебе скажут «на ноль делить нельзя» и не покраснеют. В доказательство тыкнут на калькуляторе «1/0=» и обычный калькулятор, тоже не покраснев, напишет «E», «Error», мол, «нельзя - значит нельзя». Хотя что там у тебя будет считаться обычным калькулятором - ещё вопрос. Мне вот сейчас, в 2014-ом, стандартный калькулятор на телефоне-андроиде пишет совсем другое:
Ничего себе бесконечность. Скользи себе взглядом, круги нарезай. Вот тебе и нельзя. Оказывается можно. Если осторожно. Потому что не осторожно мой Android пока тоже не согласен: «0/0=Error», опять нельзя. Попробуем ещё разок: «-1/0 = -∞», о как. Интересное мнение, но я с ним не согласен. Как не согласен и с «0/0=Error».
Кстати, JavaScript, который питает нынешние сайты, тоже не согласен с калькулятором андроида: зайди в консоль браузера (ещё F12?) и напиши там: «0/0» (ввод). JS тебе ответит: «NaN». Это не ошибка. Это «Not a Number» - т.е. какая-то штука такая, но не число. При том что «1/0» JS тоже понимает как «Infinity». Это уже ближе. Но пока только тепло…
В университете - высшая математика. Там пределы, полюса, и прочее шаманство. И всё усложняется, усложняется, ходят вокруг да около, но только бы не нарушать хрустальные законы математики. А вот если не пытаться вписать деление на ноль в эти существующие законы, то можно прочувствовать эту фантастику - на пальцах.
Для этого посмотрим-ка ещё раз на деление:
Следи за правой линией, справа налево. Чем ближе икс к нулю, тем сильнее взлетает вверх разделённое на икс. И где-то там в облаках «плюс бесконечность». Она всегда дальше, как горизонт, её не догонишь.
А теперь следи за левой линией, слева направо. Та же история, только теперь разделённое улетает вниз, бесконечно вниз, в «минус бесконечность». Отсюда и мнение, что «1/0= +∞», а «-1/0 = 1/-0 = -∞».
Но фокус в том, что «0 = -0», нету у нуля знака, если не усложнять с пределами. И вот если поделить единицу на такой «простой» ноль без знака, то не логично ли предположить, что получится и бесконечность - «просто» бесконечность, без знака, как ноль. Где она - сверху или снизу? Она везде - бесконечно далеко от нуля во всех направлениях. Это и есть ноль, вывернутый наизнанку. Ноль - нет ничего. Бесконечность - есть всё. И положительное, и отрицательное. Вообще всё. И сразу. Абсолют.
Но там что-то было про «0/0», что-то другое, не бесконечность… Сделаем такой трюк: «2*0=0», ага, скажет учительница в школе. Ещё: «3*0=0» - опять ага. И немного наплевав на «на ноль делить нельзя», мол, весь мир и так потихоньку делит, получим: «2=0/0» и «3=0/0». В каком там классе это проходят, только без нуля, конечно.
Минуточку, получается «2 = 0/0 = 3», «2=3»?! Вот поэтому и боятся, вот поэтому и «нельзя». Страшнее «1/0» только «0/0», его даже калькулятор андроида боится.
А мы не боимся! Потому что у нас есть сила математики воображения. Мы можем представить себя бесконечным Абсолютом где-то там в звёздах, посмотреть оттуда на грешный мир конечных чисел и людей и понять, что с этой точки зрения они все одинаковые. И «2» c «3», и даже «-1», и училка в школе, возможно, тоже.
Так вот, я скромно предполагаю, что 0/0 - это весь конечный мир, точнее всё, что и не бесконечно и не пустота.
Вот как выглядит ноль, делённый на икс, в моих фантазиях, далёких от официальной математики. На самом деле похоже на 1/х, только перегиб не в единице, а в нуле. Кстати, у 2/x перегиб в двойке, а у 0.5/x - в 0.5.
Получается, 0/x при x=0 принимает все конечные значения - не бесконечности, не пустоту. Там в графике дырочка в нуле, оси проглядывают.
Можно конечно возразить, что «0*0 = 0», а значит ноль (пустота) тоже попадает в категорию 0/0. Чуть забегу вперёд - там будут степени нуля и это возражение разлетится в осколки.
Упс, единичка-то в бесконечности тоже может быть тоже записана как 0/0, получится (0/0)/0 - бесконечность. Вот теперь порядок, всё можно выразить соотношением нулей.
Например, если к бесконечности прибавить конечное, то бесконечность поглотит конечное, останется бесконечностью:
1/0 + 0/0 = (1+0)/0 = 1/0.
А если бесконечность умножить на пустоту, то они поглощают друг друга, и получается конечный мир:
1/0 * 0 = (1*0)/0 = 0/0.
Но это только первый уровень сновидений. Можно копать глубже.
Если ты уже знаешь понятие «степень числа», и что «1/x = x^-1», то, подумав, сможешь перейти от всех этих делений и скобок (вроде (0/0)/0) просто к степеням:
1/0 = 0^-1
0/0 = 0^0
0 = 0^1
Подсказка.
Тут с бесконечностью и пустотой всё просто, как в школе. А конечный мир переходит к степеням вот так:
0/0
= (0*1)/0
= 0*(1/0)
= 0 * 1/0
= 0^1 * 0^-1
= 0^(1 + -1)
= 0^(1-1)
= 0^0.
Уфф!
Получается, что положительные степени нуля - это нули, отрицательные степени нуля - это бесконечности, а нулевая степень нуля - это конечный мир.
Такой вот получается универсальный объект «0^x». Такие объекты прекрасно между собой взаимодействуют, опять-таки многим законам подчиняются, красота, в общем.
Моих скромных познаний математики хватило, чтобы нарисовать из них абелеву группу, которая, будучи изолированной в вакууме («просто абстрактные объекты, такая форма записи, вроде экспоненты»), даже выдержала проверку крутейшим преподом по матану с вердиктом «интересно, но ничего не получится». Ещё бы тут что-нить получилось, это ж табуированная тема - деление на ноль. В общем, не грузись.
Попробуем лучше просто умножить бесконечность на конечное число:
0^-1 * 0^0 = 0^(-1 + 0) = 0^-1.
Опять же, бесконечность поглотила конечное число так же, как и её антипод ноль поглощает конечные числа, та же чёрная дыра:
0^1 * 0^0 = 0^(1 + 0) = 0^1.
А ещё оказывается что степени - это как сила. Т.е. ноль второй степени сильнее нуля обычного (первой степени, 0^1). И бесконечность минус второй степени сильнее бесконечности обычной (0^-1).
А когда пустота сталкивается с абсолютом, они меряются силой - у кого больше, тот и победит:
0^1 * 0^-2 = 0^(1 + -2) = 0^-1 = ∞.
0^2 * 0^-1 = 0^(2 + -1) = 0^1 = 0.
Если же они равны силами, то аннигилируются и остаётся конечный мир:
0^1 * 0^-1 = 0^(1 + -1) = 0^0.
Кстати, официальная математика уже рядом. Её представители знают про «полюса» и что у полюсов разная сила (порядок), а так же про «нуль порядка k». Но они всё топчутся на прочной поверхности «рядом с» и боятся прыгнуть в чёрную нору дыру.
И последний для меня - третий уровень сновидений. Вот, например, эти все 0^-1 и 0^-2 - бесконечности разной силы. Или 0^1, 0^2 - нули разной силы. Но ведь и «-1» и «-2» и «+1» и «+2» - это всё - 0/0, равное 0^0, уже проходили. Получается, что с этого уровня сновидений, уже всё равно вообще что это - нули, бесконечности, и даже конечный мир туда при некотором просветлении попадает. В одну точку. В одну категорию. Называется это счастье - Сингулярность.
Надо признать, что вне состояния просветления одной точки я не наблюдаю, но одну категорию - объединение «0^0 U 0^(0^0)» - вполне.
Какую из всего этого можно вынести пользу? Ведь даже чуть менее безумные «мнимые числа», что тоже рвут калькуляторы в Error = √-1, и те смогли стать официальной математикой и теперь упрощают расчёты сталеварения.
Как листья на дереве издалека кажутся одинаковыми, но если рассмотреть их внимательнее - они все разные. А если задуматься, то опять одинаковые. И мало чем отличаются от тебя или меня. Вернее, вообще ничем не отличаются, если крепко задуматься.
Польза тут в умении и фокусироваться на отличиях и абстрагироваться. Это очень полезно и в работе, и в жизни, и даже в отношении к смерти.
Вот такие путешествия в кроличью нору, Соня!
