Универсальным способом задания закона распределения, пригодным как для дискретных, так и для непрерывных случайных величин, является функция распределения.

Функцией распределения случайной величины X называется функция F (x ), определяющая для каждого значения x вероятность того, что случайная величина X примет значение меньшее, чем x , то есть

F (x ) = P (X < x ).

Основные свойства функции распределения F (x ) :

1. Так как по определению F (x ) равна вероятности события, все возможные значения функции распределения принадлежат отрезку :

0 £ F (x ) £ 1.

2. Если , то , то есть F (x ) - неубывающая функция своего аргумента.

3. Вероятность того, что случайная величина примет значение, принадлежащее полуинтервалу [a , b ), равна приращению функции распределения на этом интервале:

P (a £ X < b ) = F (b ) - F (a ).

4. Если все возможные значения случайной величины принадлежат отрезку [a , b ], то

F (x ) = 0, при x £ a ; F (x ) = 1, при x > b .

Функция распределения дискретных случайных величин может быть определена по формуле

Если известен ряд распределения дискретной случайной величины, легко вычислить и построить ее функцию распределения. Продемонстрируем, как это делается на примере 23.

Пример 25. Вычислить и построить функцию распределения для дискретной случайной величины, закон распределения которой, имеет вид:

x i	0,1	1,2	2,3	4,5
p i	0,1	0,2	0,6	0,1

Решение . Определим значения функции F (x ) = P (X < x ) для всех возможных значений x :

при x Î (- ¥; 0,1] нет ни одного значения случайной величины X , меньшего данных значений x , то есть нет ни одного слагаемого в сумме (15):

F (x ) = 0;

при x Î (0,1; 1,2] только одно возможное значение (X = 0,1) меньше рассматриваемых значений x . То есть при x Î (0,1; 1,2] F (x ) = P (X = 0,1) = 0,1;

при x Î (1,2; 2,3] два значения (X = 0,1 и X = 1,2) меньше данных значений x , следовательно, F (x ) = P (X = 0,1) + P (X = 1,2) = 0,1 + 0,2 = 0,3;

при x Î (2,3; 4,5] три значения (X = 0,1, X = 1,2 и X = 2,3) меньше данных значений x , следовательно, F (x ) = P (X = 0,1) + P (X = 1,2) + P (X = 2,3) = 0,1 + 0,2 + 0,6 = 0,9 ;

при x Î (4,5, ¥) все возможные значения случайной величины X будут меньше данных значений x , и F (x ) = P (X = 0,1) + P (X = 1,2) + P (X = 2,3) +

+ P (X = 4,5) = 0,1 + 0,2 + 0,6 + 0,1 = 1.

Таким образом ,

График функции F (x ) изображен на рисунке 8.

В общем случае, функция распределения F (x ) дискретной случайной величины X есть разрывная ступенчатая функция, непрерывная слева, скачки которой происходят в точках, соответствующих возможным значениям х 1 , х 2 , … случайной величины X и равны вероятностям p 1 , p 2 , … этих значений.

Функция распределения непрерывных случайных величин . Теперь можно дать более точное определение непрерывных случайных величин: случайная величина X называется непрерывной , если ее функция распределения F (x ) при всех значениях x непрерывна и, кроме того, имеет производную всюду, за исключением, может быть, отдельных точек.

Из непрерывности функции F (x ) следует, что вероятность каждого отдельного значения непрерывной случайной величины равна нулю .

Так как вероятность каждого отдельного значения непрерывной случайной величины равна 0, свойство 3 функции распределения для непрерывной случайной величины будет иметь вид

P (a £ X < b ) = P (a £ X £ b ) = P (a < X £ b ) = P (a < X < b ) = F (b ) - F (a ).

Пример 26. Вероятности поражения цели для каждого из двух стрелков соответственно равны: 0,7; 0,6. Случайная величина X - число промахов, при условии, что каждый стрелок сделал по одному выстрелу. Составить ряд распределения случайной величины X , построить столбцовую диаграмму и функцию распределения.

Решение. Возможные значения данной случайной величины X : 0, 1, 2. Условие задачи можно рассматривать как серию из n = 2 независимых испытаний. В данном случае для вычисления вероятностей возможных значений случайной величины X можно воспользоваться теоремами сложения вероятностей несовместных событий и умножения вероятностей независимых событий:

Обозначим события:

A i = {i -й стрелок поразил мишень}, i = 1, 2.

Согласно условию, вероятность события A 1 P (A 1) = 0,7, вероятность события A 2 - P (A 2) = 0,6 . Тогда вероятности противоположных событий: , .

Определим все элементарные события данного случайного эксперимента и соответствующие вероятности:

Элементарные события	События	Вероятности
Итого

(Проверим, что ).

Ряд распределения данной случайной величины X имеет вид

x i				Итого
p i	0,42	0,46	0,12

Столбцовая диаграмма, соответствующая этому ряду распределения, приведена на рисунке 9.

Вычислим функцию распределения данной случайной величины:

при x Î (- ¥, 0] ;

при x Î (0, 1] ;

при x Î (1, 2] ;

при x Î (2, +¥);

Итак, функция распределения рассматриваемой случайной величины имеет вид:

График функции F (x ) приведён на рисунке 10.

Функция плотности распределения вероятностей непрерывной случайной величины.

Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины X в точке x называется производная ее функции распределения в этой точке:

f (x ) = F ¢(x ).

По своему смыслу значения функции f (x ) пропорциональны вероятности того, что исследуемая случайная величина примет значение где-то в непосредственной близости от точки x .

Функция плотности распределения f (x ), как и функция распределения F (x ), является одной из форм задания закона распределения, но она применима только для непрерывных случайных величин. Функцию плотности распределения вероятностей f (x ) еще называют дифференциальной функцией распределения , тогда как функцию распределения F (x ) называют, соответственно, интегральной функцией распределения .

График функции плотности распределения f (x ) называется кривой распределения .

Рассмотрим свойства, которыми обладает функция плотности распределения непрерывной случайной величины.

Свойство 1. Плотность распределения вероятностей - неотрицательная функция:

f (x ) ³ 0

(геометрически: кривая распределения лежит не ниже оси абсцисс).

Свойство 2. Вероятность попадания значения случайной величины на участок от a до b определяется по формуле

(геометрически: эта вероятность равна площади криволинейной трапеции, ограниченной кривой f (x ), осью Ох и прямыми x = a и x = b).

Свойство 3.

(геометрически : площадь фигуры, ограниченной кривой распределения и осью абсцисс, равна единице).

В частности, если все возможные значения случайной величины принадлежат отрезку [a , b ], то

Свойство 4. Функция распределения F (x ) может быть найдена по известной функции плотности распределения следующим образом:

Пример 27. Непрерывная случайная величина задана функцией распределения

Определить дифференциальную функцию плотности распределения.

Решение . Определим дифференциальную функцию плотности распределения

Пример 28. Является ли плотностью распределения некоторой случайной величины каждая из следующих функций?

Вопросы для самоконтроля

1. Что называется случайной величиной?

2. Какие величины называются дискретными? непрерывными?

3. Что называется законом распределения случайной величины?

4. Какими способами может быть задан закон распределения дискретной случай-ной величины? непрерывной?

5. Что характеризует функция распределения F(x) случайной величины?

6. Как определить вероятность попадания значения случайной величины в некоторый интервал с помощью функции распределения?

7. Что характеризует функция плотности распределения случайной величины? Укажите ее вероятностный смысл.

8. Для каких величин определена функция плотности распределения?

9. Может ли функция плотности распределения принимать отрицательные зна-чения?

10. Как связаны между собой функции F(x) и f (x )?

11. Какие случайные величины называются непрерывными?

12. Чему равна площадь фигуры, ограниченной кривой распределения и осью абсцисс?

13. Как определить вероятность попадания значения непрерывной случайной ве-личины в некоторый интервал с помощью функции плотности распределения?

3. Функция распределения является неубывающей : если , то

4. Функция распределения непрерывна слева : для любого .

Примечание . Последнее свойство обозначает, какие значения принимает функция распределения в точках разрыва. Иногда определение функции распределения формулируют с использованием нестрогого неравенства: . В этом случае непрерывность слева заменяется на непрерывность справа: при . Никакие содержательные свойства функции распределения при этом не меняются, поэтому данный вопрос является лишь терминологическим.

Свойства 1-4 являются характеристическими, т.е. любая функция , удовлетворяющая этим свойствам, является функцией распределения некоторой случайной величины.

Функция распределения задает распределение вероятностей случайной величины однозначно. Фактически, она является универсальным и наиболее наглядным способом описания этого распределения.

Чем сильнее функция распределения растет на заданном интервале числовой оси, тем выше вероятность попадания случайной величины в этот интервал. Если вероятность попадания в интервал равна нулю, то функция распределения на нем постоянна.

В частности, вероятность того, что случайная величина примет заданное значение , равна скачку функции распределения в данной точке:

.

Если функция распределения непрерывна в точке , то вероятность принять данное значение для случайной величины равна нулю. В частности, если функция распределения непрерывна на всей числовой оси (при этом и соответствующее распределение называется непрерывным ), то вероятность принять любое заданное значение равна нулю.

Из определения функции распределения вытекает, что вероятность попадания случайной величины в интервал, замкнутый слева и открытый справа, равна:

С помощью данной формулы и указанного выше способа нахождения вероятности попадания в любую заданную точку, легко определяются вероятности попадания случайной величины в интервалы других типов: , и . Далее, по теореме о продолжении меры, можно однозначно продолжить меру на все борелевские множества числовой прямой . Для того, чтобы применить эту теорему, требуется показать, что таким образом определенная на интервалах мера является на них сигма-аддитивной; при доказательстве этого в точности используются свойства 1-4 (в частности, свойство непрерывности слева 4, поэтому отбросить его нельзя).

Генерация случайной величины, имеющей заданное распределение

Рассмотрим случайную величину , имеющую функцию распределения . Предположим, что непрерывна . Рассмотрим случайную величину

.

Легко показать, что тогда будет иметь равномерное распределение на отрезке .

6. Сумма событий и ее свойства. Примеры.

7. Теорема сложения вероятностей (с доказательством) и ее следствия. Примеры. 8 Произведение событий и его свойства.

9. Условная вероятность. Зависимые и независимые события. Теорема умножения вероятностей (с доказательством). Примеры

11. Случайная величина (определение). Дискретная случайная величина и ее закон (ряд) распределения. Основное свойство закона распределения. Примеры.

Определение независимости случайных величин.

13.* Математические операции над дискретными случайными величинами. Примеры.

14. Функция распределения случайной величины, ее определение, свойства и график. Примеры.

15. Функция распределения дискретной случайной величины. Примеры.

16. Теорема о существовании случайной величины с заданной функцией распределения. Непрерывная случайная величина. Вероятность отдельно взятого значения непрерывной случайной величины. Примеры.

18. Математическое ожидание случайной величины и его свойства. Примеры

Свойства математического ожидания

Доказательство:

19. Дисперсия случайной величины и ее свойства. Среднее квадратическое отклонение случайной величины. Примеры.

1. Дискретная случайная величина, закон и функция распределения

2. Числовые характеристики дискретных случайных величин

20. Закон распределения Бернулли, его определение, свойства и примеры.

21. Биномиальный закон распределения, его определение, свойства и примеры.

22.Закон распределения Пуассона, его определение, свойства и примеры.

25. Нормальный (гауссовский) закон распределения.

26. Стандартный нормальный закон распределения. Функция Гаусса, ее свойства и график. Теорема о связи плотности нормального закона распределения и функции Гаусса.

27. Функция Лапласа, ее свойства, график и геометрический смысл. Теорема о связи функции распределения нормального закона и функции Лапласа. Примеры.

28.* Свойства случайной величины, распределенной по нормальному закону. Правило трех сигм. Примеры.

29.* Показательный (экспоненциальный) закон распределения, его определение, свойства и примеры.

34. Лемма Чебышева. Примеры

35. Неравенство Чебышева. Примеры

36. Понятие двумерной (n-мерной) случайной величины. Примеры. Одномерные распределения ее составляющих. Условные распределения.

37. Ковариация и коэффициент корреляции случайных величин. Связь между некоррелированностью и независимостью случайных величин

14. Функция распределения случайной величины, ее определение, свойства и график. Примеры.

Числовая величина, принимающая то или иное значение в результате реализации испытания случайным образом, называется случайной величиной.

Если x - дискретная случайная величина, принимающая значения x1 < x2 < … < xi < … с вероятностями p1 < p2 < … < pi < …, то таблица вида

			x i
			p i

называется .

Свойства функции распределения.

Доказательство: Это утверждение следует из того, что функция распределения – это вероятность, а как известно,.

2. Функция распределения случайной величины есть неубывающая функция на всей числовой оси.

Доказательство: Пусть х 1 (3)

Так как Р(x 1 Х

4 . Р(х 1 Х(4)

Доказательство: это непосредственно следует из формулы (3).

Пример: Найти вероятность того, что случайная величина Х примет значение в интервале }

---